Volúmenes: discos o anillos

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Método de díscos

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje $x$, de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales perpendiculares al eje de rotación, son discos con centro en el eje de revolución.  Entonces el volumen del sólido esta dado por

\[                V=\int_{a}^{b} \pi R^2 dx               \]

donde $R$ es el radio del disco expresado en términos de la variable de integración.

Método de anillos

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje $x$, de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales, perpendiculares al eje de rotación, son anillos con centro en el eje de revolución.  Entonces el volumen del sólido esta dado por

\[                V=\int_{a}^{b} \pi (R^2-r^2) dx               \]

donde $R$ es el radio del disco exterior y $r$ es el radio del disco interior expresados en términos de la variable de integración.

Sugerencias para calcular volúmenes por el método de discos o arandelas

• Haga un dibujo de la región que se va a rotar al rededor de un eje.
• Dibuje el eje de rotación.  Si el eje de rotación es paralelo al eje «x», la variable de integración es «x».  Si el eje de rotación es paralelo al eje «y», la variable de integración es «y».
• identifique si el sólido de revolución está formado por discos o por anillos y escriba la fórmula correspondiente.
• Según sea el caso, escriba R y r, en términos de la variable de integración.  para hacer esto hay que obtener la diferencia entre una función y la función del eje de rotación, o esta diferencia al revés, de tal forma que el radio sea positivo.
• Calcule la integral utilizando los mismos límites de integración que se utilizarían para calcular el área de la región que se va a rotar.

Problema resuelto 1

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Problema resuelto 2

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Problema resuelto 3

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Problema resuelto 4

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Ejercicios sobre Volúmenes por el método de discos y anillos